三角形面积求法多样，最基础的是底乘高除以二，适用于已知底边和对应高的情形；若已知两边及其夹角，可用两边乘积乘夹角正弦值再除以二；若已知三边长，则可利用海伦公式，先求半周长，再代入开方，等边三角形可用边长平方乘四分之根号三，坐标法也可通过顶点坐标计算，选择哪种方法取决于已知条件，灵活运用即可快速求解任意三角形面积。
从最熟悉的公式说起
小学时我们就知道：三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2。
用字母表示就是：
[ S = \frac{1}{2} a h ]
(a) 是任意一条边（底），(h) 是从这条边所对的顶点向底边作的垂线长度（高）。
这个公式看似简单，却是所有三角形面积计算的基础，只要你能找到一条底边和对应的高,就能立刻求出面积。
为什么是“÷2”？
你可以做一个简单的实验：拿两个完全一样的三角形，把它们拼在一起，就得到了一个平行四边形，这个平行四边形的底和原三角形的底相等，高也相等。
平行四边形面积 = 底 × 高，而它恰好由两个完全相同的三角形组成，所以一个三角形的面积就是它的一半，即 底 × 高 ÷ 2。
这个推导也告诉我们：任意三角形，只要底和高确定，面积就唯一确定,和形状无关。
如果不知道高怎么办？
中拿不到“高”这个数据,这时候就需要用到其他方法。
已知两边和夹角（正弦公式）
如果你知道三角形的两边 (b)、(c)，以及它们的夹角 (A),那么面积可以写成：
[ S = \frac{1}{2} b c \sin A ]
这个公式的几何意义是：以 (c) 为底，高就是 (b \sin A)（从另一边顶点作垂线）,再用底乘高除以2。
已知三边长度（海伦公式）
只告诉你三边长 (a)、(b)、(c)，没有高也没有角度,可以用海伦公式：
[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ]
(p = \frac{a+b+c}{2}),称为半周长。
三角形三边分别为 3、4、5，(p=6)，面积 = (\sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6)。
这正是直角三角形两条直角边乘积除以2（3×4÷2=6）,结果一致。
已知三个顶点的坐标
在平面直角坐标系中，如果三角形三个顶点是 ((x_1,y_1))、((x_2,y_2))、((x_3,y_3)),则面积可用行列式计算：
[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| ]
注意外面是绝对值，保证面积为正,这个方法在解析几何中非常实用。
等边三角形专用
等边三角形三条边都相等，设边长为 (a)，则高为 (\frac{\sqrt{3}}{2}a),面积就是：
[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ]
内切圆半径或外接圆半径
如果已知内切圆半径 (r) 和半周长 (p)，面积 = (p r)。
如果已知外接圆半径 (R) 和三边长，面积 = (\frac{abc}{4R})。
这两种情况在竞赛题中偶尔出现,记住即可。
它们之间互相联系
其实所有公式都源自同一个道理：面积 = 底 × 高 ÷ 2。
正弦公式是“用边长乘以夹角的正弦来替代高”；海伦公式是“用三边关系算出高”；坐标公式是“直接用坐标差算出高”，只要理解了这一点,你就能在需要时灵活切换。
实战小技巧
- 先找底和高：如果题目图形中有垂直关系,优先用基本公式。
- 已知两边证角：考虑正弦公式，尤其是图形中有特殊角度（30°、45°、60°）。
- 已知三边求岁数：海伦公式,但注意运算量略大。
- 压轴题中常用坐标法：当三角形顶点都在格点或坐标系上,直接用坐标公式不易出错。
三角形的面积怎么求？最简单的回答是：底乘高除以2。
但如果一时找不到高，也别慌——正弦公式、海伦公式、坐标公式都是你的备用钥匙。
多练习，你就会发现：求三角形面积,其实比想象中更有趣。
